頭痛、歯痛の時は「I have ~ache.」

発音は「アチェ」ではなく「エイク」です。 体の部位の名前+ache で「~痛」という意味になり、“have a ~” を使って表現されます。
I have a headache.(頭痛がある→頭が痛い)
stomachache(腹痛)stomach + ache

リンク: 体の不調を伝えたい!頭痛・腹痛・歯痛に使う”ache” [日常英会話]

めまい・吐き気・寒気・熱など、症状を伝えるには

I feel faint.
 「めまいがします」

リンク: 海外で病気になったとき……… [英語] All About

I feel sick.
 「吐き気がします」

リンク: 海外で病気になったとき……… [英語] All About

I have a chill.
 「寒気がします・ゾクゾクします」

リンク: 海外で病気になったとき……… [英語] All About

I have a fever.
 「熱があります」

リンク: 海外で病気になったとき……… [英語] All About

病院で使える英単語

•cold 風邪
•Flu, Influenza インフルエンザ
•pneumonia 肺炎(最初のPは発音しません)
•allergic reaction アレルギー反応
•arthritis 関節炎
•bruise 打撲
•cut 切り傷
•disease 病気
•injury ケガ

リンク: 病院で使える英語 | アメリカ生活 101

上記の「病気やケガに関する英語」のほかに、「受付で使われている英語」「症状の重度を現す英語表現法」なども紹介しています。

「薬」や「熱がある」は何て言う?

「薬」はmedicineと言ったほうがいいでしょう。drugは「麻薬」の意味で使われることが多いのです。

リンク: 薬はdrugでOK?旅先で病気になったら [トラベル英会話] All About

熱で体が熱くなっている人のことをHe's hot.(この人、体が熱い)というように言ったりしますが、自分に熱があるときは、fever(熱)という言葉を使ったほうがいいでしょう。

リンク: 薬はdrugでOK?旅先で病気になったら [トラベル英会話] All About

お医者さんに診てもらうときは…

Excuse me. Can I see a doctor?
(イクスキューズミ。キャナイシーアダクター/すみません。お医者さんに診てもらいたいんですけれど)

リンク: 2/2 薬はdrugでOK?旅先で病気になったら [トラベル英会話] All About

「医者にかかる」は、通常go to a clinicではなくsee a doctorと言います。

リンク: 2/2 薬はdrugでOK?旅先で病気になったら [トラベル英会話] All About

ドクターと会話するときは…

病院での医師との会話、英語を考える余裕もなかなかありませんよね。少なくとも相手の話を間違いなく聞き取ることは、正しい治療を受ける上で必要不可欠。よくわからないときは、遠慮なく何度でも聞き返しましょう。

リンク: これで決まり旅行英会話集[トラブル編]Vol.3 海外旅行で病気!医師との会話 [日常英会話] All About

お見舞いの時にかける言葉

"How are you feeling?"(具合はいかがですか?)

リンク: 【TPOで使い分ける英語表現】冠婚葬祭での英会話はこれで決まり!! | EF Englishtown

"Take care of yourself"(お大事になさってね)

リンク: 【TPOで使い分ける英語表現】冠婚葬祭での英会話はこれで決まり!! | EF Englishtown

"Get well soon!"(早く良くなってね)

リンク: 【TPOで使い分ける英語表現】冠婚葬祭での英会話はこれで決まり!! | EF Englishtown

お見舞いメールの文例集

「1日も早いご回復をお祈りしています」
I'm praying for your speedy recovery.

リンク: 英語・英会話の情報ランド−英文レター文例(2)

「ご病気とのこと、お見舞い申し上げます」
Sorry to hear of your illness. I hope you will feel better soon.

リンク: 英語・英会話の情報ランド−英文レター文例(2)